Question

16．若数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n是奇数}\\{{b}_{n}，n是偶数}\end{array}$，则称数列{c_n}是数列{a_n}和{b_n}的调和数列．已知数列{a_n}的通项为a_n=2ⁿ+n，数列{b_n}满足$\left\{\begin{array}{l}{a_n}={b_n}，n=1\\{a_{n-1}}+{a_n}=-{b_n}，n≥2\end{array}$，若数列{a_n}和{b_n}的调和数列{c_n}的前n项和为T_n，则T₈+T₉=-199．

Answer 1

分析 先求出b_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{-3•{2}^{n-1}-2n+1，n≥2}\end{array}\right.$，再求出c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}+n，n是奇数}\\{-3•{2}^{n-1}-2n+1，n是偶数}\end{array}\right.$，由此能求出T₈+T₉的值．

解答 解：∵c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n是奇数}\\{{b}_{n}，n是偶数}\end{array}$，且a_n=2ⁿ+n，数列{b_n}满足$\left\{\begin{array}{l}{a_n}={b_n}，n=1\\{a_{n-1}}+{a_n}=-{b_n}，n≥2\end{array}$，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{-3•{2}^{n-1}-2n+1，n≥2}\end{array}\right.$，
∴c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}+n，n是奇数}\\{-3•{2}^{n-1}-2n+1，n是偶数}\end{array}\right.$，
当n是偶数时，T_n=（2+1）+（2³+3）+（2⁵+5）+…+[2^n-1+（n-1）]-（3•2+3）-（3•2³+7）-…-[3•2^n-1+（2n-1）]
=$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1）+$\frac{{n}^{2}}{4}$-[${2}^{n+1}-2+\frac{n（n+1）}{2}$]
=-$\frac{1}{3}•{2}^{n+2}-\frac{{n}^{2}+2n}{4}+\frac{4}{3}$，
∴T₈=-$\frac{1}{3}×{2}^{10}-\frac{{8}^{2}+2×8}{4}+\frac{4}{3}$=-360，
T₉=T₈+a₉=-360+2⁹+9=161，
∴T₈+T₉=-360+161=-199．
故答案为：-199．

点评 本题考查数列的前8项和与前9项和的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意项数为奇数和项数为偶数的不同情况的分类讨论和数列性质的合理运用．