Question

11．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为3，则三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的表面积为（　　）

• A． 16π
• B． $2\sqrt{3}$
• C． π
• D． 32π

Answer 1

分析 根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，从而求得外接球的半径R，代入球的表面积公式计算．

解答 解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中侧棱垂直于底面，设侧棱长为a，
又三棱柱的底面为直角三角形，BC=1，∠BAC=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$，AB=2，
∴三棱柱的体积V=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×a=3，
∴H=2$\sqrt{3}$，
△ABC的外接圆半径为$\frac{1}{2}$AB=1，
三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：
∴外接球的半径R=2，
∴外接球的表面积S=4π×2²=16π．
故选：A．

点评 本题考查了求三棱柱的外接球的表面积，利用三棱柱的结构特征求得外接球的半径是关键．