Question

已知函数。

(1)当时，①求函数的单调区间；②求函数的图象在点处的切线方程；

(2)若函数既有极大值，又有极小值，且当时，恒成立，求的取值范围.

 

Answer 1

（1）函数的单调递增区间是：，单调递减区间是：（1，3）；（2）.

【解析】

试题分析：(1)①：当m=2时，可以得到f(x)的具体的表达式，进而求得的表达式，根据即可确定f(x)的单调区间；②：根据①中所得的的表达式，可以得到的值，即切线方程的斜率，在由过(0,0)即可求得f(x)在(0,0)处的切线方程；(2) f(x)即有极大值，又有极小值，说明有两个不同的零点，在时，恒成立，

说明<36恒成立，

即，通过判断在[0,4m]上的单调性，即可求把 用含m的代数式表示出来，从而建立关于m的不等式.

（1）当m=2时，则 1分

①令，解得x=1或x=3 2分

∴函数的单调递增区间是：，单调递减区间是：（1，3） 4分

②∵，∴函数y=f(x)的图象在点(0,0)处的切线方程为y=3x 6分；

(2)因为函数f(x)既有极大值，又有极小值，则有两个不同的根，则有

又 8分

令，依题意：即可.

,,

10分

,又，

∴g(x)最大值为 12分, 13分

∴m的取值范围为 14分．.

考点：1、利用导数求函数的单调区间和切线方程；2、恒成立问题的处理方法.