Question

8．如图，当抛物线形拱桥的拱顶距水面2米时，测得水面宽4米．若水面下降0.5米，则水面宽$2\sqrt{5}$米．

Answer 1

分析 可建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x²=2py，从而由题意知点（2，-2）在抛物线上，带入抛物线方程便可求出p=-1，这便得出抛物线方程为x²=-2y．而根据题意知点（x₀，-2.5）在抛物线上，从而可以求出x₀，从而水面宽度便为2|x₀|，即得出水面宽度．

解答 解：建立如图所示平面直角坐标系：

设抛物线方程为x²=2py；
根据题意知，A（2，-2）在抛物线上；
∴4=2p•（-2）；
∴p=-1；
∴x²=-2y；
设B（x₀，-2.5）在抛物线上，则：${{x}_{0}}^{2}=-2•（-2.5）$；
∴${x}_{0}=±\sqrt{5}$；
∴水面下降0.5米，则水面宽为$2\sqrt{5}$．
故答案为：$2\sqrt{5}$．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，根据曲线上点的坐标求出曲线方程，利用曲线方程解决几何问题的方法，以及抛物线的标准方程，数形结合解题的方法．