Question

18．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R．
（1）求$f（\frac{5π}{4}）$的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R，$sin\frac{5π}{4}$=-$sin\frac{π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$cos\frac{5π}{4}$=-$cos\frac{π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．代入计算即可得出．
（2）利用倍角公式、和差公式即可化为：f（x）=$\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+1$．
（3）当$0≤x≤\frac{π}{2}$时，可得$\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，利用正弦函数的单调性最值即可得出．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R，$sin\frac{5π}{4}$=-$sin\frac{π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$cos\frac{5π}{4}$=-$cos\frac{π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$f（\frac{5π}{4}）$=$2cos\frac{5π}{4}（sin\frac{5π}{4}+cos\frac{5π}{4}）$=$-2×\frac{\sqrt{2}}{2}$$（-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=2．
（2）f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+1$，
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤$2x+\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），解得$kπ-\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]$（k∈Z）．
（3）当$0≤x≤\frac{π}{2}$时，$\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，∴当$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{8}$时，函数f（x）取得最大值$\sqrt{2}+1$，
当$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$，即$x=\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值0．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．