Question

【题目】给定椭圆 C : ，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆 C 的“伴随圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F1(, 0) ，其短轴上的一个端点到 F1 的距离为

（1）求椭圆 C 的方程及其“伴随圆”方程；

（2）若倾斜角 45°的直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，且与椭圆 C 的伴随圆相交于 M .N 两点，求弦 MN 的的长；

（3）点 P 是椭圆 C 的伴随圆上一个动点，过点 P 作直线 l1、l2，使得 l1、l2与椭圆 C 都只有一个公共点，判断l1、l2的位置关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）椭圆方程：；伴随圆方程： x2 y2 1 ；（2） 2；（3）垂直，（斜率乘积为 1 ，分斜率存在与否）

【解析】

（1）直接由椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F1的距离为，求出，即可求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程；

（2）先把直线方程与椭圆方程联立，利用对应的判别式为0求出，进而求出直线方程以及圆心到直线的距离；即可求弦MN的长；

（3）先对直线l1，l2的斜率是否存在分两种情况讨论，然后对每一种情况中的直线l1，l2与椭圆C都只有一个公共点进行求解即可证：l1⊥l2．（在斜率存在时，是先设直线方程，把直线与椭圆方程联立，利用斜率为对应方程的根来判断结论）．

解：（1）因为，所以b＝1

所以椭圆的方程为，

伴随圆的方程为x2+y2＝4．

（2）设直线l的方程y＝x+b，由得4x2+6bx+3b2﹣3＝0

由△＝（6b）2﹣16（3b2﹣3）＝0得b2＝4

圆心到直线l的距离为

所以

（3）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，

因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，

当l1方程为时，此时l1与伴随圆交于点，

此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是y＝1（或y＝﹣1），

即l2为y＝1（或y＝﹣1），显然直线l1，l2垂直；

同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直．

②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02＝4，

设经过点P（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为y＝k（x﹣x0）+y0，

由，消去y得到x2+3（kx+（y0﹣kx0））2﹣3＝0，

即（1+3k2）x2+6k（y0﹣kx0）x+3（y0﹣kx0）2﹣3＝0，

△＝[6k（y0﹣kx0）]2﹣4（1+3k2）[3（y0﹣kx0）2﹣3]＝0，

经过化简得到：（3﹣x02）k2+2x0y0k+1﹣y02＝0，

因为x02+y02＝4，所以有（3﹣x02）k2+2x0y0k+（x02﹣3）＝0，

设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，

所以k1，k2满足方程（3﹣x02）k2+2x0y0k+（x02﹣3）＝0，

因而k1k2＝﹣1，即l1，l2垂直．