Question

8．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．
（Ⅰ）若PB=$\frac{1}{2}$，求PA；
（Ⅱ）若∠APB=150°，设∠PBA=α，求tan2α值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可求∠PBA=30°，在△PBA中，由余弦定理即可解得PA的值．
（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sinα，在△PBA中，由正弦定理，同角三角函数基本关系式可得tanα的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解．

解答 本小题满分（12分）
解：（Ⅰ）由已知得，∠PBC=60°，
∴∠PBA=30°，
在△PBA中，由余弦定理得PA²=$3+\frac{1}{4}-2×\sqrt{3}×\frac{1}{2}cos{30^o}$=$\frac{7}{4}$，
∴PA=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$…（5分）
（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sinα，
在△PBA中，由正弦定理得，$\frac{{\sqrt{3}}}{{sin{{150}^o}}}=\frac{sinα}{{sin（{{30}^o}-α）}}$，
化简得，$\sqrt{3}cosα=4sinα$，
∴tanα=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴$tan2α=\frac{2tanα}{{1-{{tan}^2}α}}=\frac{{8\sqrt{3}}}{13}$．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．