Question

已知函数f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos²

x

3

．
（Ⅰ）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求出该函数图象的对称中心；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b²=ac，求f（B）的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，化简函数解析式，然后，利用f（x）=0，求解其对称中心；
（Ⅱ）结合余弦定理和基本不等式，然后，根据B的范围求解f（B）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

(1+cos

2x

3

)=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

=sin(

2x

3

+

π

3

)+

3

2

由sin(

2x

3

+

π

3

)=0，
即

2x

3

+

π

3

=kπ(k∈z)得x=

3k-1

2

π

&k∈z

即对称中心的横坐标为

3k-1

2

π，

&k∈z

…（6分）
（Ⅱ）由已知b²=ac，

cosx= a2+c2-b2 2ac = a2+c2-ac 2ac ≥ 2ac-ac 2ac = 1 2 ，

，
∴sin

π

3

＜sin(

2x

3

+

π

3

)≤1，
∴

3

＜sin(

2x

3

+

π

3

)≤1+

3

2

，
即f（x）的值域为(

3

，1+

3

2

]．
综上所述，x∈(0，

π

3

]，f（x）值域为(

3

，1+

3

2

]．…（13分）

点评：本题重点考查了三角恒等变换公式及其灵活运用、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．