Question

15．设函数f（x）=（x-a）²+（ln2x-2a）²，其中x＞0，a∈R，存在x₀使得f（x₀）≤$\frac{1}{5}$成立，则实数a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{10}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． 1

Answer 1

分析 把函数看作是动点M（x，ln2x）与动点N（a，2a）之间距离的平方，利用导数求出曲线y=ln2x上与直线y=2x平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于$\frac{1}{5}$，然后由两直线斜率的关系列式求得实数a的值．

解答 解：函数f（x）可以看作是动点M（x，ln2x）与动点N（a，2a）之间距离的平方，
动点M在函数y=ln2x的图象上，N在直线y=2x的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由y=ln2x得，y'=$\frac{1}{x}$=2，解得x=$\frac{1}{2}$，
∴曲线上点M（$\frac{1}{2}$，0）到直线y=2x的距离最小，
最小距离d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
则f（x）≥$\frac{1}{5}$，
根据题意，要使f（x₀）≤$\frac{1}{5}$，
则f（x₀）=$\frac{1}{5}$，此时N恰好为垂足，
由k_MN=$\frac{2a-0}{a-\frac{1}{2}}$=$\frac{4a}{2a-1}$=-$\frac{1}{2}$，
解得a=$\frac{1}{10}$．
故选：A．

点评 本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了数形结合和数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．