Question

已知函数f（x）=

- 1 3 x+ 1 6 ，x∈[0， 1 2 ] 2x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1]

，g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2（a＞0，x∈[0，1]）．若a∈[

1

2

，1]．则（　　）

• A、?x₁，x₂∈[0，1]，f（x₁）=g（x₂）
• B、?x₁∈[0，1]，?x₂∈[0，1]，f（x₁）=g（x₂）
• C、?x₁，x₂∈[0，1]，f（x₁）≥g（x₂）
• D、?x₁∈[0，1]，?x₂∈[0，1]，f（x₁）≥g（x₂）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：根据给出的函数f（x）的解析式求出其值域为[0，1]，然后求出函数g（x）在x∈[0，1]上的值域，对选项一一考虑，通过值域间的包含关系和最值的大小关系，解不等式即可得到a的范围，进而加以判断即可得到结论．

解答： 解：由f（x）=

2x3

x+1

，得f′（x）=

6x2(x+1)-2x3

(x+1)2

=

2x2(2x+3)

(x+1)2

，
当x∈（

1

2

，1]时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（

1

2

，1]上为增函数，
则有f（x）∈（

1

6

，1]，
当x∈[0，

1

2

]时，函数f（x）为减函数，f（x）∈[0，

1

6

]，
所以在[0，1]上f（x）的值域为[0，1]，
函数g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2（a＞0，x∈[0，1]），即有sin（

π

6

x）∈[0，

1

2

]，
所以g（x）的值域为[2-2a，2-

3a

2

]，
对于A，若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
说明函数函数g（x）的最大值与最小值中至少一个在[0，1]中，
所以0≤2-2a≤1或0≤2-

3a

2

≤1，解得：

1

2

≤a≤

4

3

，即有[

1

2

，1]⊆[

1

2

，

4

3

]，
故A正确；
对于B，若?x₁∈[0，1]，?x₂∈[0，1]，f（x₁）=g（x₂），
则有[2-2a，2-

3a

2

]⊆[0，1]，即为0≤2-2a≤2-

3a

2

≤1，解得

2

3

≤a≤1，则B错误；
对于C，若?x₁，x₂∈[0，1]，f（x₁）≥g（x₂），则有2-

3a

2

≤0，解得a≥

4

3

，则C错误；
对于D，若?x₁∈[0，1]，?x₂∈[0，1]，f（x₁）≥g（x₂），则有0≥2-2a，解得a≥1，则D错误．
故选：A．

点评：本题主要考查分段函数的值域，考查恒成立和存在性问题转化为求函数的最值和值域问题，掌握函数值域的包含关系和最值的大小是解题的关键．