Question

已知函数f（x）=x-2lnx-

a

x

+1，g（x）=e^x（2lnx-x）．
（1）若函数f（x）在定义域上是增函数，求a的取值范围；
（2）求g（x）的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的定义域及其求法

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由题意先求函数的定义域，再求导f′（x）=1-

2

x

+

a

x2

，从而可得a≥2x-x²恒成立（x＞0）；从而解得．
（Ⅱ）求导g′（x）=e^x（

2

x

-1+2lnx-x），结合（Ⅰ）知，当a=2时，f（x）=x-2lnx-

2

x

+1，从而可得g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，从而求最值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得x＞0，f′（x）=1-

2

x

+

a

x2

，
由函数f（x）在定义域上是增函数得，
f′（x）≥0，即a≥2x-x²=-（x-1）²+1（x＞0）；
因为-（x-1）²+1≤1（当x=1时，取等号），
所以a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅱ）g′（x）=e^x（

2

x

-1+2lnx-x），
由（Ⅰ）得a=2时，f（x）=x-2lnx-

2

x

+1，
且f（x）在定义域上是增函数及f（1）=0，
所以，当x∈（0，1）时，f（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0．
所以，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0．
g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
故x=1时，g（x）取得最大值g（1）=-e．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题与最值问题，属于中档题．