Question

已知函数f（x）=

|x+1|+|x-a|-2

(a∈R)．
（1）若a=3，解不等式f（x）≥2；
（2）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由条件根据绝对值的意义，|x+1|+|x-3|≥6，再根据绝对值的意义求得x的范围．
（2）由题意可得|x+1|+|x-a|≥2恒成立，再根据|x+1|+|x-a|≥|a+1|，可得|1+a|≥2，由此求得a的范围．

解答： 解：（1）若a=3，f（x）=

|x+1|+|x-3|-2

，由不等式f（x）≥2，
可得|x+1|+|x-3|-2≥4，∴|x+1|+|x-3|≥6．
而|x+1|+|x-3|表示数轴上的x对应点到-1、3对应点的距离之和，而4和-2对应点到-1、3对应点的距离之和正好等于6，
故由|x+1|+|x-3|≥6可得x≤-2 或x≥4，故原不等式的解集为{x|x≤-2 或x≥4}．
（2）若f（x）的定义域为R，则有|x+1|+|x-a|≥2．
∵|x+1|+|x-a|≥|（x+1）-（x-a）|=|1+a|，∴|1+a|≥2，∴a+1≥2或 a+1≤-2，
由此求得a≥1或a≤-3，故实数a的取值范围为{a|a≥1或a≤-3}．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值的意义、绝对值三角不等式，属于中档题．