Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x?R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分图象如图所示P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点．若OQ=4，OP=

5

，PQ=

13

．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈（-1，2）时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）从给出的三角函数图象中给出三个线段信息，从中可以求出图象最高点的坐标，

T

4

的长度，由此推理出三角函数的解析式；
（2）由题意先求出g（x），h（x）的函数解析式，由x的范围求出

π

3

x-

π

6

的范围，同时结合三角函数的图象进行分析，即可求出其函数值域．

解答： 解：（1）由条件知cos∠POQ=

42+( 5 )2-( 13 )2

2×4× 5

=

5

5

，所以P（1，2）．  （2分）
由此可得振幅A=2，周期T=4×（4-1）=12，又

2π

ω

=12，则ω=

π

6

．
将点P（1，2）代入f（x）=2sin（

π

6

x+φ），得sin（

π

6

x+φ）=1，
因为0＜φ＜

π

2

，所以φ=

π

3

，于是f（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）．             （6分）
（2）由题意可得g（x）=2sin[

π

6

（x-2）+

π

3

]=2sin

π

6

x．
所以h（x）=f（x）•g（x）=4sin（

π

6

x+

π

3

）•sin

π

6

x=2sin²

π

6

x+2

3

sin

π

6

x•cos

π

6

x=1-cos

π

3

x+

3

sin

π

3

x=1+2sin（

π

3

x-

π

6

）．                       （9分）
当x∈（-1，2）时，

π

3

x-

π

6

∈（-

π

2

，

π

2

），所以sin（

π

3

x-

π

6

）∈（-1，1），
即1+2sin（

π

3

x-

π

6

）∈（-1，3）．于是函数h（x）的值域为（-1，3）．        （12分）

点评：本题主要考查了三角函数图象的平移、三角函数的恒等变换及三角函数的值域等知识，考查了求解三角函数的值域，关注自变量x的取值范围是解题的关键，属于中档题．