Question

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，x₁≠x₂总有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0且f（1）=1．若对于任意a∈[-1，1]，存在x∈[-1，1]，使f（x）≤t²-2at-1成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A、-2≤t≤2
• B、t≤-1-

  3

  或t≥

  3

  +1
• C、t≤0或t≥2
• D、t≥2或t≤-2或t=0

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：由条件先判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式转化f（x）_min≤t²-2at-1成立，构造函数g（a）即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴当x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁+x₂≠0时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴函数f（x）在[-1，1]上单调递增．
∵f（1）=1，
∴f（x）的最小值为f（-1）=-f（1）=-1，最大值为f（1）=1，
若对于任意a∈[-1，1]，存在x∈[-1，1]，使f（x）≤t²-2at-1成立，
即t²-2at-1≥-1对所有a∈[-1，1]恒成立，
∴t²-2at≥0，
设g（a）=t²-2at=-2ta+t²，
则满足

g(1)=t2-2t≥0 g(-1)=t2+2t≥0

，
即

t≥2或t≤0 t≥0或t≤-2

，
∴t≥2或t≤-2或t=0，
故选：D

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．