Question

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=

π

4

，tan（A+

π

4

）=-

3

．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若b-c=

2

-

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由题意和内角和定理求出A的范围，再求出A+

π

4

的范围，结合条件求出角A，由内角和定理即可求出角C；
（2）根据正弦定理求出

b

c

的值，代入b-c=

2

-

3

，求出b、c的值，利用两角和的正弦公式求出sinA的值，再代入三角形的面积公式求解．

解答： 解：（1）由题意知，B=

π

4

，则0＜A＜

3π

4

，
∴

π

4

＜A+

π

4

＜π，
∵tan（A+

π

4

）=-

3

，∴A+

π

4

=

2π

3

，则A=

5π

12

，…（2分）
∴C=π-A-B=

π

3

…（4分）
（2）由正弦定理得

b

sinB

=

c

sinC

，则

b

c

=

sin π 4

sin π 3

=

2

3

，①…（6分）
∵b-c=

2

-

3

，②，
由①②得，b=

2

、c=

3

（8分）
∵sinA=sin（B+C）=

2

2

(

1

2

+

3

2

)=

6 + 2

4

…（10分）
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

2

×

3

×

6 + 2

4

=

3+ 3

4

…（12分）

点评：本题考查正弦定理，两角和的正弦公式，以及三角形的面积公式，注意角的范围确定，属于中档题．