Question

已知函数f（x）=ax³-bx²+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-6=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意的x∈[

1

4

，2]都有f（x）≥t²-2t-1成立，求函数g（t）=t²+t-2的最值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（I）欲求实数a、b的值，利用f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-6=0，结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决；
（II）求导数，确定f（x）在[

1

4

，2]上的最小值为2，由f（x）≥t²-2t-1对x∈[

1

4

，2]恒成立，则t²-2t-1≤2，求出t的范围，从而可求函数g（t）=t²+t-2的最值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，得切点为（1，3），且f′（x）=3ax²-2bx+9，
由题意可得

f(1)=a-b+9+2=3 f′(1)=3a-2b+9=-3

，
解得

a=4 b=12

，
故f（x）=4x³-12x²+9x+2；
（II）f′（x）=12x²-24x+9，
由f′（x）=0，得x=

1

2

或

3

2

，
由f′（x）＞0，得x＞

3

2

或x＜

1

2

；由f′（x）＜0，得

1

2

＜x＜

3

2

；
∴f（x）的单调增区间为（

3

2

，+∞），（-∞，

1

2

）；f（x）的单调减区间为（

1

2

，

3

2

）；
∴f（x）的极小值为f（

3

2

）=2，
又f（

1

4

）=

57

16

，f（2）=4，
∴f（x）在[

1

4

，2]上的最小值为2，
由f（x）≥t²-2t-1对x∈[

1

4

，2]恒成立，则t²-2t-1≤2，
则t²-2t-3≤0，解得-1≤t≤3，
而g（t）=t²+t-2=(t+

1

2

)2-

9

4

，
故当t=-

1

2

时，g（t）最小值为-

9

4

；当t=3时，g（t）最大值为10．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调性并根据函数的增减性得到函数的极值，是一道中档题．