Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a（sinA-sinB）+bsinB=csinC上．
（1）求角C的值；
（2）若c=1，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：第（1）问利用正弦定理把条件中的边角关系式转化为边的关系式，进而用余弦定理可求出C；第（2）问结合条件选择适当的面积公式，在求面积的最大值时使用不等式的性质．

解答： （1）解：∵a（sinA-sinB）+bsinB=csinC
∴由正弦定理得：a（a-b）+b²=c²
即a²+b²-c²=ab
由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵角C为三角形的内角，
∴c=

π

3

．
（2）∵S=

1

2

absinC=

3

4

ab，c=1
由（1）得，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∴a²+b²-1=ab
由不等式的性质：a²+b²≥2ab，当且仅当a=b时取等号，
∴ab≤1
∴S=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

4

．
所以△ABC的面积的最大值为

3

4

．

点评：本题考查了利用正、余弦定理解三角形，解决本题的关键是根据式子的特点及形式合理的选择定理及公式．