Question

已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+m．
（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|-5≤x≤-1}，求实数m的值；
（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,绝对值不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|-5≤x≤-1}，建立方程组，即可求实数m的值；
（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x-2|+|x+3|＞m恒成立，求出左边的最小值，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）因为g（x）=-|x+3|+m≥0，
所以|x+3|≤m，所以-m-3≤x≤m-3，
由题意

-m-3=-5 m-3=-1

，所以m=2；                            …（5分）
（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x-2|+|x+3|＞m恒成立，
因为|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，当且仅当（x-2）（x+3）≤0时取等，
所以m＜5．…．（10分）

点评：此题主要考查绝对值不等式的应用问题，有一定的灵活性，属于中档题．