考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,定积分,数列的求和
专题：导数的综合应用
分析：（1）求出原函数的导函数，解得导函数的零点，由函数零点对定义域分段，利用函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性从而求得函数的极小值，也就是最小值；
（2）由M∩P≠∅，可知不等式f（x）＞ax在区间[
，2]上有解．代入f（x）的解析式后转化为
a＜-1在区间[
，2]上有解，构造函数g（x）=
-1，x∈[，2]．由导数求其最大值，则实数a的取值范围可求；
（3）设存在公差为d的等差数列{a
n}和首项为f（1）、公比q＞0的等比数列{b
n}，使得S
n=A
n+B
n，由定积分求得S
n，再由S
n=A
n+B
n，分别取n=1，2，3求出等差数列的公差和等比数列的公比，得到等差数列和等比数列的通项公式，验证后得答案．
解答：
解：（1）函数f（x）=e
x-x，则f′（x）=e
x-1，
由f′（x）=0，得x=0．
当x＞0时，f′（x）＞0，
当x＜0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增．
∴f（x）
min=f（0）=1；
（2）∵
M={x|≤x≤2}，且M∩P≠∅，
∴不等式f（x）＞ax在区间[
，2]上有解．
由f（x）＞ax，得e
x-x＞ax，
即
a＜-1在区间[
，2]上有解．
令g（x）=
-1，x∈[，2]．
∵
g′(x)=，
∴当x∈
(，1)时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
又
g()=2-1，
g(2)=-1，且g（2）＞g（
），
∴
g(x)max=g(2)=-1．
∴
a＜-1；
（3）设存在公差为d的等差数列{a
n}和首项为f（1）、公比q＞0的等比数列{b
n}，使得S
n=A
n+B
n，
∵S
n=
f(x)dx=
(ex-x)dx=
(ex-x2+c=
en-n2-1．
b
1=f（1）=e-1，
由a
1+b
1=S
1，即
a1+e-1=e-，得
a1=-．
由n≥2时，
an+bn=Sn-Sn-1=en-1(e-1)-n+．
分别取n=2，3得：
-+d+(e-1)q=e(e-1)- ①
-+2d+(e-1)q2=e2(e-1)- ②
②-①×2得，q
2-2q=e
2-2e，解得：q=e或q=2-e（舍）．
故q=e，d=-1．
此时
an=-+(n-1)(-1)=-n；
bn=(e-1)•en-1，且
an+bn=(e-1)en-1+-n，满足S
n=A
n+B
n．
∴存在满足条件的数列{a
n}，{b
n}使得S
n=A
n+B
n．
点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查了数学转化思想方法，对于（2）的求解，把
a＜-1在区间[
，2]上有解转化为a小于函数g（x）=
-1，x∈[，2]的最小值是关键．训练了数列通项公式的求法，属综合性较强的题目．
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