Question

16．若设“x，y＞0，x+y＞a，则$\frac{1+x}{y}$，$\frac{1+y}{x}$中至少有一个小于2”为真命题，则a的最小值是2．

Answer 1

分析 将命题进行等价转化，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：命题的等价条件是当x，y＞0，$\frac{1+x}{y}$≥2，$\frac{1+y}{x}$≥2时，
即$\left\{\begin{array}{l}{x，y＞0}\\{1+x≥2y}\\{1+y≥2x}\end{array}\right.$时，x+y≤a恒成立，
作出不等式组对应的平面区域如图，
设z=x+y，则y=-x+z，
平移直线y=-x+z，当y=-x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{1+x=2y}\\{1+y=2x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
此时z=1+1=2，
则a≥2，
即a的最小值是2，
故答案为：2

点评 本题主要考查命题真假的应用，根据条件转化为线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．