Question

已知函数f（x）=2acosxsin（x+β）-2asin²xsinβ+2asinxcosxcosβ的定义域是R，值域为[-2，2]，在区间[-

5

12

π，

π

12

]上是单调递减函数，且a＞0，β∈[0，2π]．
（1）求f（x）的周期；
（2）求常数a和角β的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用两角和差公式，变形为：f（x）=2asin（2x+β），再利用三角函数图象和性质求解．
（2）根据单调区间，求解．

解答： 解：∵函数f（x）=2acosxsin（x+β）-2asin²xsinβ+2asinxcosxcosβ
=2acosxsinxcosβ+2acosxcosxsinx-2asin²xsinβ+2asinxcosxcosβ
=2asin2xcosβ+2acosxsinβ
=2asin（2x+β）
（1）周期T=

2π

2

=π，
（2）∵定义域是R，值域为[-2，2]，
2a=2，a=1，函数f（x）=2asin（2x+β），
∴在区间[-

5

12

π，

π

12

]上是单调递减函数，且a＞0，β∈[0，2π]．
∴β-

5π

6

≤2x+β≤

π

6

+β，
又2kπ+

π

2

≤2x+β≤2kπ+

3π

2

，k∈Z
∴

π

6

+β=2kπ+

3π

2

，β=2kπ+

4π

3

．k∈Z，
∵β∈[0，2π]，∴β=

4π

3

．
所以a=1，β=

4π

3

．

点评：本题考察了运用恒等变换，三角函数图象性质解决问题．