Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*）．设数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n．
（Ⅰ）求T_n；
（Ⅱ）求正整数m，n （m≠n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据题意和当n≥2时a_n=S_n-S_n-1化简，再验证a₁=S₁，求出a_n代入

1

anan+1

化简，利用裂项相消法求出数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n；
（Ⅱ）由（I）化简T_n，根据等比中项的性质得

T

2 m

=T₁•T_n，化简后求出m的范围，再由m，n （m≠n）取正整数，求出m、n的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，数列{a_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*），
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又a₁=S₁=1，故a_n=2n-1 （n∈N*），
所以

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
则T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（(

1

2n-1

-

1

2n+1

)）]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

；      …（5分）
（Ⅱ）假设正整数m，n （m≠n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列．
由（I）得，T_n=

n

2n+1

=

1

2+ 1 n

（n∈N*），所以{T_n}是递增数列，
由

T

2 m

=T₁•T_n 得，（2+

1

m

）²=

1

3

（

1

2+ 1 n

）=6+

3

n

＞6，故2+

1

m

＞

6

，
又m≠n，所以1＜m＜

2+ 6

2

（ m∈N*），
即m=2，解得n=12．
所以当m=2，n=12时，T₁，T_m，T_n成等比数列． …（15分）

点评：本题考查数列a_n与S_n的关系式，等比中项的性质，以及裂项相消法求数列的和，同时考查运算求解能力．