Question

AB是过椭圆

x2

5

+

y2

4

=1的一个焦点F的弦，若AB的倾斜角为

π

3

，则弦AB的长为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出椭圆的焦点坐标，根据点斜率式设AB方程，与椭圆方程消去y，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦AB的长．

解答： 解：∵椭圆方程为

x2

5

+

y2

4

=1，
∴焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），
AB的倾斜角为

π

3

，AB的斜率为

3

，
∴可设直线AB的方程为y=

3

x+

3

，
将AB方程与椭圆方程消去y，得19x²+30x-5=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
x₁+x₂=-

30

19

，x₁x₂=-

5

19

因此，|AB|=

1+( 3 )2

•|x₁-x₂|=2

(- 30 19 )2-4(- 5 19 )

=32

5

．
故答案为：32

5

．

点评：本题给出椭圆经过焦点且倾斜角为

π

3

的弦AB，求弦长．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．