Question

10．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚掌x与身高y进行测量，得到数据（单位：cm）作为一个样本如下表示：

脚掌长（　　）	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
身高（　　）	141	146	154	160	169	176	181	188	197	203

（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（2）若某人的脚掌长为26.5cm，试估计此人的身高；
（3）在样本中，从身高180cm以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm以上的概率．
附：线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$中，$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$，其中$\overline x$，$\overline y$为样本平均值．
参考数据：$\sum_{i=1}^{10}{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}=577.5$，$\sum_{i=1}^{10}{{{（{x_i}-\bar x）}^2}=82.5}$．

Answer 1

分析 （1）通过线性回归方程，直接利用已知条件求出a，b，推出线性回归方程．
（2）把某人的脚掌长为26.5cm，代入回归方程即可求出此人的身高；
（3）将身高为181、188、197、203（cm）的4人分别记为A、B、C、D，记“从身高180cm以上4人中随机抽取2人，所抽的2人中至少有1个身高在190cm以上”为事件A，列出基本事件，利用古典概型求出概率即可．

解答 解：（1）记样本中10人的“脚掌长”为x_i（i=1，2，…10），“身高”为y_i（i=1，2，…10），
则$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}}^2}}}=\frac{577.5}{82.5}=7$，…（2分）
$\overline x=\frac{{{x_1}+{x_2}+…+{x_{10}}}}{10}=24.5$，$\overline y=\frac{{{y_1}+{y_2}+…+{y_{10}}}}{10}=171.5$，…（4分）
∴$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x=0$，…（5分）
∴所求回归方程为$\widehaty=7x$．                                      …（6分）
（2）由（1）知$\widehaty=7x$，当x=26.5时，$\widehaty=7×26.5=185.5$，
故估计此人的身高为185.5cm．                                  …（8分）
（3）将身高为181，188，197，203cm的4人分别记为A，B，C，D，
设“从身高180cm以上4人中随机抽取2人，所抽的2人中至少有1个身高在190cm以上”为事件A，
则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共6个，…（10分）
A包含的基本事件有：（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共5个，…（11分）
∴所求概率为$P（A）=\frac{5}{6}$．                                      …（12分）

点评 本题考查线性回归方程的求法，古典概型的求解，考查分析问题解决问题的能力．