Question

2．已知函数f（x）=2x+$\frac{b}{x}$+c，其中b，c为常数且满足f（1）=4，f（2）=5．
（1）求b，c的值；
（2）证明函数f（x）在区间（0，1）上是减函数，并判断f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（3）若存在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$，使得$\frac{1}{2}f（x）+4m＜\frac{1}{2}f（-x）+{m^2}+4$成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=4，f（2）=5，列一方程组$\left\{\begin{array}{l}{2+b+c=4}\\{4+\frac{b}{2}+c=5}\end{array}\right.$，即解得b、c的值；
（2）利用增函数及减函数的定义即可证明、判断单调性；
（3）根据题意，结合函数f（x）的解析式，将$\frac{1}{2}f（x）+4m＜\frac{1}{2}f（-x）+{m^2}+4$变形可得2x+$\frac{2}{x}$＜m²-4m+4，即f（x）＜m²-4m+4，结合f（x）的单调性分析可得f（x）有最小值f（1）=4，进而分析可得若存在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$，使得$\frac{1}{2}f（x）+4m＜\frac{1}{2}f（-x）+{m^2}+4$即f（x）＜m²-4m+4成立，则有m²-4m+4＞4，解可得m的取值范围，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，函数f（x）=2x+$\frac{b}{x}$+c中，有f（1）=4，f（2）=5，
则有$\left\{\begin{array}{l}{2+b+c=4}\\{4+\frac{b}{2}+c=5}\end{array}\right.$，解可得b=2，c=0，
则f（x）=2x+$\frac{2}{x}$，
（2）证明：根据题意，由（1）可得：f（x）=2x+$\frac{2}{x}$，
设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=（2x₁+$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（2x₂+$\frac{2}{{x}_{2}}$）=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
又由0＜x₁＜x₂＜1，则x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，x₁x₂＞0，
必有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
即函数f（x）在（0，1）上为减函数；
当1＜x₁＜x₂时，x₁-x₂＜0，由①式得f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）根据题意，若$\frac{1}{2}f（x）+4m＜\frac{1}{2}f（-x）+{m^2}+4$，则有$\frac{1}{2}$[f（x）-f（-x）]＜m²-4m+4，
又由f（x）=2x+$\frac{2}{x}$，则f（-x）=-（2x+$\frac{2}{x}$），
$\frac{1}{2}$[f（x）-f（-x）]＜m²-4m+4?2x+$\frac{2}{x}$＜m²-4m+4，即f（x）＜m²-4m+4，
又由（2）可得，f（x）在区间（0，1）上是减函数，（1，+∞）上是增函数，
则f（x）有最小值f（1）=4，
若存在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$，使得$\frac{1}{2}f（x）+4m＜\frac{1}{2}f（-x）+{m^2}+4$即f（x）＜m²-4m+4成立，
则有m²-4m+4＞4，
解可得m＜0或m＞4，
故m的取值范围为：（-∞，0）∪（4，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性判定及其应用，定义法是证明函数单调性的常用方法，其步骤可分为：①取值；②作差；③变形；④判号；⑤结论．