Question

13．已知a，b，x，y∈（0，+∞），且ab=4，x+y=1．
求证：（ax+by）（bx+ay）≥4．

Answer 1

分析 利用柯西不等式进行证明即可．

解答 证明：（ax+by）（ay+bx）=[（$\sqrt{ax}$）²+（$\sqrt{by}$）²][（$\sqrt{bx}$）²+（$\sqrt{ay}$）²]
≥（$\sqrt{ax}$•$\sqrt{bx}$+$\sqrt{by}$•$\sqrt{ay}$）² （柯西不等式）
=（$\sqrt{ab}$x+$\sqrt{ab}$y）²
=4（x+y）²=4，
即（ax+by）（ay+bx）≥4，当且仅当a=b 时取“=”得证．

点评 本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键．