Question

5．若x，y为实数，且x²+2xy-y²=7，则x²+y²的最小值为$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 设x²+y²=r²，则x=rcosa，y=rsinα，利用三角换元得到sin（2a+$\frac{π}{4}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{2{r}^{2}}$，根据三角形函数的性质即可求出．

解答 解：x²+2xy-y²=7，
设x²+y²=r²，
则x=rcosa，y=rsinα，
∴（rcosα）²+2r²sinαcosα-（rsinα）²=7，
即r²（cos2α+sin2α）=7，
∴$\sqrt{2}$r²sin（2α+$\frac{π}{4}$）=7，
∴r²sin（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∴sin（2a+$\frac{π}{4}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{2{r}^{2}}$
∴r²≥$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
故则x²+y²的最小值为$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了利用三角换元法求出不等式的最值问题，换元是关键，属于中档题．