Question

14．已知函数f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$，则函数f（x）的最小正周期为π，将f（x）图象向左平移φ（$\frac{π}{2}$＜φ＜π）个单位长度后得到函数为偶函数，则φ=$\frac{7π}{12}$．

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），利用三角函数周期公式即可求得f（x）的最小正周期，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得平移后的函数解析式，利用偶函数的性质可得2φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，结合φ的范围即可得解函数φ的值．

解答 解：∵f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵将函数f（x）的图象向左平移φ（$\frac{π}{2}$＜φ＜π）个单位，所得的图象对应的函数为y=2sin[2（x+φ）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{3}$），
再由y=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{3}$）为偶函数，可得：2φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
∴φ=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，
∵$\frac{π}{2}$＜φ＜π，
∴φ=$\frac{7π}{12}$．
故答案为：π，$\frac{7π}{12}$．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数的奇偶性，三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．