Question

15．已知a满足方程x+lgx=4，b满足方程x+10^x=4，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（a+b）x+2，x≤0}\\{2，x＞0}\end{array}\right.$，则关于x的方程f（x）=x的所有实数根之和是（　　）

• A． 2
• B． 0
• C． -3
• D． -1

Answer 1

分析 化简可得x=lg（4-x），令f（x）=x-lg（4-x），从而可得4-a=b，化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+2，x≤0}\\{2，x＞0}\end{array}\right.$，从而分类讨论求方程的实数根之和．

解答 解：∵x+10^x=4，
∴10^x=4-x，
∴x=lg（4-x），
令f（x）=x-lg（4-x），
∵a+lga-4=0，b-lg（4-b）=0，
∴4-a=b，
故a+b=4；
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+2，x≤0}\\{2，x＞0}\end{array}\right.$，
当x＞0时，f（x）=2=x，
当x≤0时，f（x）=x²+4x+2=x，
解得，x=-1或x=-2；
故f（x）=x的根为-1，-2，0；
故关于x的方程f（x）=x的所有实数根之和是-3，
故选：C．

点评 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及分类讨论的思想应用．