Question

7．设函数f（x）=|$\sqrt{x}$-ax-b|，a，b∈R，若对任意实数a，b，总存在实数x₀∈[0，4]使得不等式f（x₀）≥m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分情况讨论a不同取值时函数u（x）=$\sqrt{x}$-ax-b在[0，4]上的范围，从而确定f（x）的最大值，将对任意实数a，b，总存在实数x₀∈[0，4]使得不等式f（x₀）≥m成立，转化为m≤m≤f（x）_max恒成立，即可解决．

解答 设f（x）的最大值为M（b），
令u（x）=$\sqrt{x}$-ax-b，则u′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-a
在x∈[0，4]上，
当u′（x）≥0，即a≤$\frac{1}{4}$时，u（x）单调递增，
此时-b≤u（x）≤2-4a-b，
当b≤1-2a时，M（b）=2-4a-b，当b＞1-2a时，M（b）=b，
从而当a≤$\frac{1}{4}$时，b=1-2a时M（b）取最小值，M（b）_min=1-2a≥$\frac{1}{2}$，
当a＞$\frac{1}{4}$时，u（x）在[0，$\frac{1}{{4a}^{2}}$）上单调递增，在[$\frac{1}{{4a}^{2}}$，4]上单调递减，
在a∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]时，-b≤u（x）≤$\frac{1}{4a}$-b，当b=$\frac{1}{8a}$时，M（b）_min=$\frac{1}{8a}$≥$\frac{1}{4}$，
在a∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，2-4a-b≤u（x）≤$\frac{1}{4a}$-b，当b=1-2a+$\frac{1}{8a}$时，M（b）_min=2a+$\frac{1}{8a}$-1＞$\frac{1}{4}$，
综上所述，M（b）_min=$\frac{1}{4}$，
对任意实数a，b，总存在实数x₀∈[0，4]使得不等式f（x₀）≥m成立等价于m≤f（x）_max恒成立，
∴m≤$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查函数的单调性，最值与导数的关系，和存在性问题的转化，属于压轴题，难题．