Question

19．在任意两个正整数m，n之间定义一种运算关系“*”：（m+1）*n=m*n+2，m*（n+1）=m*n一1，且规定1*1=1．
（1）求2*3的值；
（2）求2016*2016的值；
（3）试求m*n关于m，n的代数表达式．

Answer 1

分析 直接利用新定义计算（1）、（2）；借助于新定义先把m变为（m-1）+1，再把n变为（n-1）+1，逐渐寻找规律求得（3）．

解答 解：（1）由（m+1）*n=m*n+2，得2*3=（1+1）*3=1*3+2，
由m*（n+1）=m*n-1，得1*3=1*（2+1）=1*2-1=1*（1+1）-1=1*1-1-1=-1，
∴2*3=（1+1）*3=1*3+2=-1+2=1；
（2）2016*2016=（2015+1）*2016=2015*2016+2=2015*（2015+1）+2=2015*2015-1+2=2015*2015+1=…=1*1+2015=2016；
（3）m*n=（（m-1）+1）*n=（m-1）*n+2=（m-2）*n+4=…=1*n+2（m-1）=1*（n-1）+2（m-1）-1=1*（n-2）+2（m-1）-2=…1*1+2（m-1）-（n-1）=2m-n．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查逻辑推理能力和计算能力，是中档题．