Question

14．已知P（t，t），t∈R，点M是圆O₁：x²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$上的动点，点N是圆O₂：（x-2）²+y²=$\frac{1}{4}$上的动点，求PN-PM的最大值．

Answer 1

分析 先根据两圆的方程求出圆心和半径，结合图形，把求PN-PM的最大值转化为PO₂-PO₁+1的最大值，
再利用PO₂-PO₁=PO₂-PO₁′≤O₁′O₂=1，即可求出对应的最大值．

解答 解：如图所示，

圆O₁：x²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$的圆心O₁（0，1），
圆O₂：（x-2）²+y²=$\frac{1}{4}$的圆心O₂（2，0），这两个圆的半径都是$\frac{1}{2}$；
要使PN-PM最大，需PN最大，且PM最小，
由图可得，PN最大值为PO₂+$\frac{1}{2}$，
PM的最小值为PO₁-$\frac{1}{2}$，
故PN-PM最大值是（PO₂+$\frac{1}{2}$）-（PO₁-$\frac{1}{2}$）=PO₂-PO₁+1，
点P（t，t）在直线 y=x上，O₁（0，1）关于y=x的对称点O₁′（1，0），
直线O₂O₁′与y=x的交点为原点O，
则PO₂-PO₁=PO₂-PO₁′≤O₁′O₂=1，
故PO₂-PO₁+1的最大值为1+1=2，
即PN-PM的最大值为2．

点评 本题考查了直线与圆的方程的综合应用问题，主要考查圆的标准方程，点与圆的位置关系，体现了转化及数形结合的数学思想，是综合性题目．