Question

9．已知正数x，y，z满足5x+4y+3z=10，则${9^{x^2}}+{9^{{y^2}+{z^2}}}$的最小值为（　　）

• A． 27
• B． 18
• C． 36
• D． 54

Answer 1

分析 由条件利用柯西不等式可得（x²+y²+z²）（25+16+9）≥（5x+4y+3z）²=100，由此求得x²+y²+z²的最小值，再根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．

解答 解：∵5x+4y+3z=10，利用柯西不等式可得：
（x²+y²+z²）（25+16+9）≥（5x+4y+3z）²=100，
 故x²+y²+z²≥2，
∴${9^{x^2}}+{9^{{y^2}+{z^2}}}$≥2$\sqrt{{3}^{2{（x}^{2}{+y}^{2}{+z}^{2}）}}$≥2$\sqrt{{3}^{4}}$=18，
当且仅当x²=y²+z²时“=”成立，
故选：B．

点评 本题主要考查柯西不等式应用，考查基本不等式的性质，属于基础题．