Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-（a+3）x+（2a+2）lnx．
（1）函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与2x-y+1=0平行，求a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若不等式4n²ln（

n+1

n

）≤2mn²+1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，然后由切线平行可知f′（1）=2，可求a；
（2）求导数f′（x），然后令f′（x）=0，在分类讨论利用导数的符号判定函数的单调性，
（3）现将不等式化简，然后求导数，利用导数的符号确定函数的单调性和最值，求得m的范围．

解答： 解：（1）∵f′（x）=x-a-3+

2a+2

x

，
又∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与2x-y+1=0平行，
∴f′（1）=2，即1-a-3+2a+2=2，解得a=2，
（2）f′（x）=x-a-3+

2a+2

x

=

1

x

（x-2）[x-（a+1）]，
令f′（x）=0，解得x₁=2，x₂=a+1，
①当a＞1时，a+1＞2，
在（0，2]上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
在[2，a+1]上，f′（x）≤0，f（x）单调递减，
在[a+1，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
②当a=1时，在（0，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
③当-1＜a＜1时，
在（0，a+1]上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
在[a+1，2]上，f′（x）≤0，f（x）单调递减，
在[2，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
④当a≤-1时，f（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．
（3）不等式4n²ln（

n+1

n

）≤2mn²+1等价于2ln（1+

1

n

）-

1

2n2

≤m，
令g（x）=2ln（1+x）-

1

2

x²，x∈（0，1]，
g′（x）=

2

1+x

-x=-

(x+2)(x-1)

1+x

，
在（0，1]上g′（x）≥0，g（x）是增函数，
所以g（x）≤g（1）=2ln2-

1

2

，
所以实数m的取值范围是[2ln2-

1

2

，+∞）．

点评：本题考查利用导数求解函数的单调性和最值问题，涉及到含参讨论，要细心，不可马虎．