Question

函数y=-x³+2ax+a在（-1，0）内有极小值，则实数a的取值范围为（　　）

• A、（0，

  3

  2

  ）
• B、（0，3）
• C、（-∞，3）
• D、（0，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：由函数y=-x³+2ax+a在（-1，0）内有极小值，求导可得，导函数在（-1，0）内至少有一个实数根，分a＞0、a=0、a＜0三种情况，求得实数a的取值范围．

解答： 解：对于函数y=-x³+2ax+a求导可得y′=-3x²+2a，
∵函数y=-x³+2ax+a在（-1，0）内有极小值，
∴y′=-3x²+2a=0，则有一根在（-1，0）内，
a＞0时，两根为±

6a

3

，
若有一根在（-1，0）内，则-1＜-

6a

3

＜0
即0＜a＜

3

2

．
a=0时，两根相等，均为0，f（x）在（-1，0）内无极小值．
a＜0时，无实根，f（x）在（-1，0）内无极小值，
综合可得，0＜a＜

3

2

，
故选：A．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．