Question

20．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x+1在（a，2a+7）上有最小值，则实数a的取值范围为（-3，1）．

Answer 1

分析 f′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），分别令f′（x）＞0，令f′（x）＜0，得到函数f（x）的单调区间，要使函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x+1在（a，2a+7）上有最小值，只需$\left\{\begin{array}{l}{a＜1＜2a+7}\\{f（a）≥f（1）}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：f′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），
令f′（x）＞0，解得x＜-3或x＞1，令f′（x）＜0，解得-3＜x＜1，
所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-3），（1，+∞），减区间为（-3，1）．
所以要使函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x+1在（a，2a+7）上有最小值，
只需$\left\{\begin{array}{l}{a＜1＜2a+7}\\{f（a）≥f（1）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-3＜a＜1}\\{a≥-5}\end{array}\right.$，解得-3＜a＜1，
故答案为：（-3，1）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．