Question

10．已知函数f（x）=|x²-5x+4|，f（x）的单调增区间为$[1，\frac{5}{2}]$，[4，+∞）；若方程f（x）=mx有三个不相等的实根，则m=1，且三个实根的和是8．

Answer 1

分析 ①由|x²-5x+4≥0，解得x≥4或x≤1．可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{5}{2}）^{2}-\frac{1}{4}，x≥4或x≤1}\\{-（x-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{1}{4}，1＜x＜4}\end{array}\right.$，可得f（x）的单调增区间．
②方程f（x）=mx有三个不相等的实根，则直线y=mx与二次函数y=-x²+5x-4（x∈（1，4））相切．可得x²+（m-5）x+4=0，△=0，m＞0，结合图象解得m=1（m=9舍去）．由m=1，解得x．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-5x+4}\end{array}\right.$，x≥4或x≤1，化为x²-6x+4=0，可得x₁+x₂即可得出．

解答 解：①由|x²-5x+4≥0，解得x≥4或x≤1．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x+4，x≥4或x≤1}\\{-{x}^{2}+5x-4，1＜x＜4}\end{array}\right.$，配方可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{5}{2}）^{2}-\frac{1}{4}，x≥4或x≤1}\\{-（x-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{1}{4}，1＜x＜4}\end{array}\right.$，
可得f（x）的单调增区间为：$[1，\frac{5}{2}]$，[4，+∞）．
②方程f（x）=mx有三个不相等的实根，
则直线y=mx与二次函数y=-x²+5x-4（x∈（1，4））相切．
∴x²+（m-5）x+4=0，△=（m-5）²-16=0，m＞0，结合图象解得m=1（m=9舍去）．
由m=1，可得上述方程为：x²-4x+4=0，解得x=2．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-5x+4}\end{array}\right.$，x≥4或x≤1，化为x²-6x+4=0，解得x₁+x₂=6，
∴三个实根的和=2+6=8．
故答案分别为：$[1，\frac{5}{2}]$，[4，+∞）；2；8．

点评 本题考查了二次函数的单调性、不等式的解法、方程的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题