Question

给定椭圆C：，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是．

（1）若椭圆C上一动点M₁满足||+||=4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；

（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2，求P点的坐标；

（3）已知m+n=﹣（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m²），（n，n²）的直线的最短距离．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

 【解析】（1）由题意，，∴=，所以椭圆C的方程为．

其“伴随圆”的方程为x²+y²=6；

（2）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程为（2k²+1）x²+4tkx+2t²﹣4=0

∴由△=（4tk）²﹣8（2k²+1）（t²﹣2）=0得t²=4k²+2①，

由直线l截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，可得，即t²=3（k²+1）②

由①②可得t²=6．

∵t＜0，∴t=﹣，∴P（0，﹣）；

（3）过两点（m，m²），（n，n²）的直线的方程为，∴y=（m+n）x﹣mn，

∵m+n=﹣（0，π）），

∴，得xcosθ+ysinθ﹣3=0，

∴由于圆心（0，0）到直线xcosθ+ysinθ﹣3=0的距离为d==3．

当a²+b²≥9时，d_min=0，但，所以，等式不能成立；

当a²+b²＜9时，d_min=3﹣，由3﹣=﹣b得9+6b+b²=4a²+4b²．

因为a²=b²+2，所以7b²﹣6b﹣1=0，

∴（7b+1）（b﹣1）=0，∴b=1，a=．