Question

15．已知函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{2}$）sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当α∈[0，π]时，若f（α）=1，求α的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），由周期公式可得；
（2）由题意可得sin（2α+$\frac{π}{3}$）=1，可得2α+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，结合α的范围可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得：
f（x）=2sin（x+$\frac{π}{2}$）sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=2cosx（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=2sinxcosx+$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵f（α）=sin（2α+$\frac{π}{3}$）=1，
∴2α+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，∴α=kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∵α∈[0，π]，∴α=$\frac{π}{12}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性，属基础题．