Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量$\overrightarrow m$=（2cosC，$\frac{c}{2}$-b），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{a}{2}$，1），且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量垂直以及正弦定理求出A的值即可；（Ⅱ）根据正弦定理求出b，c，表示出三角形的周长l，结合三角函数的性质求出l的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n⇒\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$，$\frac{a}{2}•2cosC+\frac{c}{2}-b=0$，
在△ABC中，由正弦定理得：$sinAcosC+\frac{1}{2}sinC-sinB=0$，
sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC代入上式得：
$cosAsinC=\frac{1}{2}sinC∴cosA=\frac{1}{2}$，∴$A=\frac{π}{3}$，
（Ⅱ）由正弦定理：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$
得：$b=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinB，c=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinC=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin[π-（A+B）]=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（B+\frac{π}{3}）$，
∴$l=a+b+c=2+\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinB+\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（B+\frac{π}{3}）$，
$\begin{array}{l}=2+\frac{4}{{\sqrt{3}}}（sinB+\frac{1}{2}sinB+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB）=2+4（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB+\frac{1}{2}cosB）\\=2+4sin（B+\frac{π}{6}）\end{array}$，
∵$0＜B＜\frac{2π}{3}$∴$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（B+\frac{π}{6}）≤1$，
∴l∈（4，6]．

点评 本题考查了正弦定理的应用，考查三角函数的性质以及向量的垂直的性质，是一道中档题．