Question

已知函数f（x）=ax²+4x-2满足对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有．
（1）求实数a的取值范围；（2）试讨论函数y=f（x）在区间[-1，1]上的零点的个数．

Answer 1

解：（1）∵
=
=，
∵x₁≠x₂，∴a＞0．∴实数a的取值范围为（0，+∞）．
（2）∵a＞0，
∴△=16+8a＞0，
①a＞0时，f（1）=a+2＞0，
当0＜a≤6时，总有f（-1）≤0，
故0＜a≤6时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有1个零点；
②a＞6时，，
故a＞6时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有2个零点．
综上所述，0＜a≤6时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有1个零点；
a＞6时，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有2个零点．
分析：（1）先将 用函数f（x）的表达式表示出来，再进行化简得：，由此式即可求得实数a的取值范围；
（2）a＞0，△=16+8a＞0，
当0＜a≤6时，f（1）=a+2＞0，f（-1）≤0，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有1个零点；a＞6时，，函数y=f（x）在区间[-1，1]上有2个零点．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于难题．