Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R），若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），
（1）求f（x）的表达式；
（2）当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为f（-1）=0，所以a-b+1=0． 因为f（x）的值域为[0，+∞），所以．（3分）
可得 b²-4（b-1）=0，解得b=2，a=1，所以f（x）=（x+1）²．…（6分）
（2）因为g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1=，…（8分）
所以当 或时，函数g（x）在∈[-2，2]上单调．…（11分）
即k的范围是（-∞，-2]∪[6，+∞）时，g（x）是单调函数，
故实数k的取值范围是（-∞，-2]∪[6，+∞）． …（13分）
分析：（1）由f（-1）=0，可得a-b+1=0． 再由f（x）的值域为[0，+∞）可得，由此求得a、b的值，即可求得f（x）的表达式．
（2）化简g（x）的解析式为，故当 或时，函数g（x）在∈[-2，2]上单调，由此求得实数k的取值范围．
点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，求函数的解析式，属于中档题．