Question

已知x＝1是函数f(x)＝mx3－3(m＋1)x2＋nx＋1的一个极值点，其中m、n∈R，m<0.

(1)求m与n的关系表达式；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．

Answer 1

解　(1)f′(x)＝3mx2－6(m＋1)x＋n.

因为x＝1是f(x)的一个极值点，所以f′(1)＝0，

即3m－6(m＋1)＋n＝0，所以n＝3m＋6.

(2)由(1)知，f′(x)＝3mx2－6(m＋1)x＋3m＋6

＝3m(x－1)

当m<0时，有1>1＋，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化如下表：

x	(－∞，1＋)	1＋	(1＋，1)	1	(1，＋∞)
f′(x)	<0	0	>0	0	<0
f(x)	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减