Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足f（0）=-1，对任意x∈R都有f（x）≥x-1，且f(-

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+x)=f(-

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2

-x)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使函数g(x)=log

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2

[f(a)]x在（-∞，+∞）上为减函数？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据f（0）=-1可求出c的值，根据f(-

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+x)=f(-

1

2

-x)可得a与b的关系，最后根据对任意x∈R都有f（x）≥x-1，可求出a与b的值，从而求出函数f（x）的解析式；
（2）令u（x）=f（a），要使函数g(x)=log

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2

[f(a)]x在（-∞，+∞）上为减函数，只需函数u（x）=f（a）在（-∞，+∞）上为增函数，由指数函数的单调性可得a的取值范围．

解答：解：（1）由f（x）=ax²+bx+c（a≠0）及f（0）=-1∴c=-1 …（1分）
又对任意x∈R，有f(-

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+x)=f(-

1

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-x)．
∴f（x）图象的对称轴为直线x=-

1

2

，则-

b

2a

=-

1

2

，∴a=b  …（3分）
又对任意x∈R都有f（x）≥x-1，
即ax²+（b-1）x≥0对任意x∈R成立，
∴

a＞0 △=(b-1)2≤0

，故a=b=1                             …（6分）
∴f（x）=x²+x-1                                         …（7分）
（2）由（1）知g(x)=log

1

2

[f(a)]x=log

1

2

（a²+a-1）^x，其定义域为R…（8分）
令u（x）=（a²+a-1）^x
要使函数g（x）=log

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（a²+a-1）^x在（-∞，+∞）上为减函数，
只需函数u（x）=（a²+a-1）^x在（-∞，+∞）上为增函数，…（10分）
由指数函数的单调性，有a²+a-1＞1，解得a＜-2或a＞1      …（12分）
故存在实数a，当a＜-2或a＞1时，函数g(x)=log

1

2

[f(a)]x在（-∞，+∞）上为减函数…（13分）

点评：本题主要考查了函数解析式的求解及常用方法，以及复合函数的单调性的判定，同时考查了计算能力，属于中档题．