Question

已知函数f（x）=

x

ex

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）过点P（0，

4

e2

）作直线l与曲线y=f（x）相切，求证：这样的直线l至少有两条，且这些直线的斜率之和m∈（

e2-1

e2

，

2e3-1

e2

）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求导后根据正负求单调性，及极值；
（Ⅱ）由导数的几何意义转化，结合图象可得结果．

解答： （Ⅰ）解：由题知f′（x）=

1-x

ex

，
当f'（x）＞0时，x＜1，当f'（x）＜0时，x＞1，
所以函数f（x）的增区间为（-∞，1），减区间为（1，+∞），
其极大值为f（1）=

1

e

，无极小值．
（Ⅱ）证明：设切点为（x₀，f（x₀）），则所作切线的斜率k=

1-x0

ex0

，
所以直线l的方程为：y-

x0

ex0

=

1-x0

ex0

（x-x₀），
注意到点点P（0，

4

e2

）在l上，所以

4

e2

-

x0

ex0

=

1-x0

ex0

（-x₀），
整理得：

x02

ex0

-

4

e2

=0，故此方程解的个数，即为可以做出的切线条数，
令g（x）=

x2

ex

-

4

e2

，则g′（x）=-

x(x-2)

ex

，
当g'（x）＞0时，0＜x＜2，当g'（x）＜0时，x＜0或x＞2，
所以，函数g（x）在（-∞，0），（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增，
注意到g（0）=-

4

e2

＜0，g（2）=0，g（-1）=e-

4

e2

＞0，
所以方程g（x）=0的解为x=2，或x=t（-1＜t＜0），
即过点P（0，

4

e2

）恰好可以作两条与曲线y=f（x）相切的直线．
当x=2时，对应的切线斜率k₁=f′（2）=-

1

e2

，
当x=t时，对应的切线斜率k₂=

1-t

et

，
令h（t）=

1-t

et

（-1＜t＜0），则h′（t）=

t-2

et

＜0，
所以h（t）在（-1，0）上为减函数，即1=h（0）＜h（t）＜h（-1）=2e，1＜k₂＜2e，
所以m=k₁+k₂∈（

e2-1

e2

，

2e3-1

e2

）．

点评：本题综合考查的导数的应用，同时考查了转化和数形结合的思想．