Question

设函数f（x）=

2x

x+1

，且a₁=

1

2

，a_n+1=f（a_n），其中n=1，2，3，…．
（1）计算a₂，a₃的值；
（2）设b_n=

1-an

an

，求证：数列{b_n}为等比数列；
（3）求证：

1

2

≤a_n＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的函数特性,等比关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由已知条件得到数列递推式，结合首项求得a₂，a₃的值；
（2）根据an+1=

2an

an+1

，b_n=

1-an

an

，直接利用等比数列的定义证得数列{b_n}为等比数列；
（3）由等比数列的通项公式求出数列{b_n}的通项公式，代入b_n=

1-an

an

求得a_n，利用作差法证明

1

2

≤a_n＜1．

解答： （1）解：由f（x）=

2x

x+1

，且a_n+1=f（a_n），
得an+1=

2an

an+1

，
∵a₁=

1

2

，∴a2=

2

3

，a₃=

4

5

；
（2）证明：∵an+1=

2an

an+1

，b_n=

1-an

an

，
∴

bn+1

bn

=

1-an+1 an+1

1-an an

=

1 an+1 -1

1-an an

=

an+1 2an -1

1-an an

=

1

2

．
∴数列{b_n}是首项b1=

1-a1

a1

=1，公比为

1

2

的等比数列；
（3）由（2），得bn=

1-an

an

=1×(

1

2

)n-1，
∴a_n=

2n-1

2n-1+1

．
∵an-

1

2

=

2n-1

2n-1+1

-

1

2

=

2×2n-1-2n-1-1

2(2n-1+1)

=

2n-1-1

2n+2

，
且当n∈N^*时，2^n-1-1≥0，2ⁿ+2＞0，
∴an-

1

2

≥0，即an≥

1

2

．
∵an-1=

2n-1

2n-1+1

-1=

-1

2n-1+1

＜0，
∴a_n＜1．
综上，对于任意n∈N^*，都有

1

2

≤a_n＜1．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查了等比关系的确定，训练了作差法证明数列不等式，是压轴题．