Question

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，点M是线段PD的中点．点N在线段PD上，且

PN

=

3

4

PD

．
（1）求证：AM⊥平面PCD；
（2）求直线BD与平面PCD所成角的正弦值的大小；
（3）求cos＜

AN

，

BD

＞．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定,空间向量的夹角与距离求解公式

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）建立空间直角坐标系，以AP所在直线为z轴，AB，AD所在直线为x，y轴，求出点A，D，P，B，C，M的坐标，得到向量AM，PD，CD的坐标，由向量的垂直的条件，即可证得；
（2）求出向量BD的坐标，由向量的夹角公式，即可求出直线BD与平面PCD所成角的正弦值的大小；
（3）求出向量PN，AN的坐标，运用向量的夹角公式，即可求cos＜

AN

，

BD

＞．

解答： （1）证明：建立如图所示的直角坐标系，以AP所在直线为z轴，AB，AD所在直线为x，y轴，
则A（0，0，0）、D（0，4，0）、P（0，0，4）．B（2，0，0）
中点M（0，2，2），C（2，4，0）

AM

=（0，2，2），

PD

=（0，4，-4），

CD

=（-2，0，0），
则

AM

•

PD

=0+8-8=0，

AM

•

CD

=0，即AM⊥PD，AM⊥CD，
则AM⊥平面PCD；
（2）解：设直线BD与平面PCD所成的角为θ，
由（1）知面PCD的法向量可取为

AM

=(0，2，2)，

BD

=（-2，4，0）
则sinθ=cos?

BD

，

AM

＞=

10

5

；
（3）解：由已知

PN

=

3

4

PD

=

3

4

(0，4，-4)=(0，3，-3)

AN

=

AP

+

PN

=(0，3，1)，
cos＜

AN

，

BD

＞=

AN • BD

| AN |•| BD |

=

12

10 • 20

=

3 2

5

．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，直线与平面所成的角，异面直线所成的角，考查运用空间向量证明线面位置关系，求空间角，属于中档题．