Question

已知数列{a_n}，a_n≠2，a_n+1=

5an-8

2an-3

，a₁=3．
（1）证明：数列{

1

an-2

}是等差数列．
（2）设b_n=a_n-2，数列{b_nb_n+1}的前n项和为S_n，求使（2n+1）•2ⁿ⁺²•S_n＞（2n-3）•2ⁿ⁺¹+192成立的最小正整数n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的定义，进行证明即可；
（2）确定数列{b_nb_n+1}的通项，利用裂项法求和，即可得出结论．

解答： （1）证明：由an+1=

5an-8

2an-3

得an+1-2=

5an-8

2an-3

-2=

an-2

2an-3

…（2分）
∵a_n≠2，∴

1

an+1-2

=

2an-3

an-2

=

1

an-2

+2，
∴

1

an+1-2

-

1

an-2

=2…（5分）
∴数列{

1

an-2

}是公差为2的等差数列．  …（6分）
（2）解：由①知

1

an-2

=

1

a1-2

+(n-1)×2=2n-1…（7分）
∴bn=an-2=

1

2n-1

，
∴bnbn+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（9分）
∴Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（11分）
故(2n+1)•2n+2•Sn＞(2n-3)•2n+1+192等价于n•2ⁿ⁺²＞（2n-3）•2ⁿ⁺¹+192
即2ⁿ⁺¹＞64=2⁶，故n＞5…（13分）
∴使(2n+1)•2n+2•Sn＞(2n-3)•2n+1+192成立的最小正整数n=6．      …（14分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列通项公式及其前n项和公式的求法，其中涉及错裂项法求和在问题中的应用．