Question

焦点在x轴的椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

4

=1（3≤a≤4），过C₁右顶点A₂（a，0）的直线l：y=k（x-a）（k＞0）与曲线C₂：y=x²-

ak

4

相切，交C₁于A₂、E二点．
（1）若C₁的离心率为

5

3

，求C₁的方程．
（2）求|A₂E|取得最小值时C₂的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由C₁的离心率e=

a2-4

a

=

5

3

得a²=9，即可求出C₁的方程．
（2）利用韦达定理，表示出|A₂E|，利用换元，导数法，即可求|A₂E|取得最小值时C₂的方程．

解答： 解：（1）由C₁的离心率e=

a2-4

a

=

5

3

得a²=9…（2分）
∴C1：

x2

9

+

y2

4

=1…（3分）
（2）l与C₂方程联立消y得x2-kx+

3ak

4

=0
由l与C₂相切知△=k²-3ak=0，由k＞0知k=3a…（5分）
l与C₁方程联立消y得（4+a²k²）x²-2a³k²x+a⁴k²-4a²=0…①…（6分）
设点E（x_E，y_E），则
∵l交C₁于A₂、E二点，∴x_E、a是①的二根，
∴xE=

a3k2-4a

4+a2k2

，故xE-a=

-8a

4+a2k2

…（8分）
∴|A2E|2=(xE-a)2+

y

2 E

=(1+k2)(xE-a)2=(1+9a2)

64a2

(4+9a4)2

=64

9a4+a2

(4+9a4)2

…（10分）
令t=a²∈[9，16]，则|A2E|2=64

9t2+t

(4+9t2)2

令f(t)=

9t2+t

(4+9t2)2

 (9≤t≤16)，则f′(t)=

18t(4-9t2)+(4-27t2)

(9t2+4)3

＜0在t∈[9，16]上恒成立
故f（t）在[9，16]上单减                             …（12分）
故t=16即a=4，k=12时f（t）取得最小值，则|A₂E|取得最小值
此时C2：y=x2-12…（14分）

点评：本题考查椭圆、抛物线的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，难度大．