Question

14．设命题p：函数y=log₂（ax-1）在区间[1，2]内单调递增，命题q：“?x∈R，ax²-2ax+3＞0”
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若命题p为真命题，则t=ax-1在区间[1，2]内单调递增且恒为正，解得实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则命题p，q一真一假，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）若命题p为真命题，
即函数y=log₂（ax-1）在区间[1，2]内单调递增，
则t=ax-1在区间[1，2]内单调递增且恒为正，
即$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ a-1＞0\end{array}\right.$，
解得：a＞1；
（2）若命题q：“?x∈R，ax²-2ax+3＞0”为真命题，
则a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=4{a}^{2}-12a＜0\end{array}\right.$，
解得：0≤a＜3，
若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则命题p，q一真一假，
即$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ a＜0，或a≥3\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ 0≤a＜3\end{array}\right.$，
解得：0≤a≤1，或a≥3．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题，复合函数的单调性，复合命题，对数函数的图象和性质等知识点，难度中档．